Melihat judul dari artikel yang saya posting hari ini, pastinya akan terbayang suatu nostalgia ketika kita duduk di bangku sekolah dulu (kata-kata ini keluar dari seorang penulis yang sekarang sedang tidak sekolah : ) dan berharap suatu hari nanti akan melanjutkan sekolah lagi). Yups, nostalgia mengenai suatu bidang ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan angka-angka dan logika, tak lain adalah Matematika.

Kita mengingat-ingat lagi mengenai bilangan genap dan bilangan ganjil, mungkin sebagian besar dari kita sudah tahu apa itu bilangan genap dan bilangan ganjil, tetapi kadang kita mengalami kesulitan apabila kita ingin mendeskripsikannya secara ilmiah. Tak pelak pula, terkadang kita juga masih bingung, apa saja anggota dari bilangan ganjil dan bilangan genap itu. Salah satu yang menjadi pertanyaan adalah, apakah bilangan “nol” (0) itu termasuk kedalam bilangan bulat atau ganjil ataukah berdiri sebagai bilangan sendiri di luar bilangan bulat dan bilangan ganjil?

Ok, untuk mengupas lebih lanjut kita tinjau dulu definisi dari masing-masing dari bilangan bulat dan bilangan ganjil tersebut.

  • Bilangan Genap

Yaitu sebuah bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari dua, dengan kata lain adalah suatu bilangan bulat yang apabila dibagi dengan dua akan menghasilkan suatu bilangan bulat dan tidak ber-sisa. Secara matematik dapat dituliskan sebagai  2k, dengan k adalah sembarang bilangan bulat.

  •  Bilangan Ganjil

Yaitu sebuah bilangan bulat selain dari bilangan ganjil, dengan kata lain adalah suatu bilangan bulat yang apabila dibagi dengan dua akan menghasilkan sisa 1. Secara matematik dapat dituliskan sebagai  2k-1  atau  2k+1, dengan k adalah sembarang bilangan bulat.


Note: Saya katakan sebuah karena bilangan yang dimaksud itu tunggal bukanlah suatu himpunan,  beda lagi kalau saya katakan himpunan yang artinya terdiri dari beberapa anggota bilangan tunggal.

Sebagai contoh dari definisi diatas, agar permasalahan menjadi jelas, katakanlah ada sebuah bilangan 7 (tujuh) .

Bilangan tujuh ini apabila dibagi dengan dua ,

7 : 2  = ?

hasilnya adalah 3 dan bersisa 1.

maka dapat dikatakan bahwa –> 7 adalah bilangan ganjil.

Hmm, ternyata defininisinya sederhana sekali hehehe. Btw dari definisi tersebut kita akan terbayang, kalau bilangan “nol” (0) itu ikut yang mana, karena definisinya hanya dua, maka bilangan “nol” (0) itu harus ikut dari salah satu jenis bilangan yang kita definisikan tadi. Kenapa? Jawabnya karena bilangan “nol” (0) adalah bilangan bulat.

Mari kita perjelas, bilangan “nol” (0) apabila dibagi dengan 2,

0 : 2 = ?

hasilnya adalah 0 (nol) dan tanpa bersisa.

Jadi sangatlah jelas bahwa bilangan “nol” (0) adalah termasuk bilangan genap.

Lalu apasaja sih anggota dari himpunan bilangan genap dan bilangan ganjil?

Himpunan “bilangan Genap” (even number) dapat dituliskan sebagai:

E = {…,-4, -2, 0, 2, 4,…}

Himpunan “bilangan ganjil” (odd number) dapat dituliskan sebagai:

O = {…, -3, -1, 1, 3,…}

Ternyata, bilangan genap dan bilangan ganjil mempunyai sifat-sifat yanng unik, diantaranya adalah:

jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Jumlah dua bilangan ganjil artinya penjumlahan dari (2k-1)+(2k-1) yang hasilnya adalah 4k-2=2(2k-1).

Misalkan 2k-1=m, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2m. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap.

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.

Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k)+(2k) yang hasilnya adalah 4k=2(2k).

Misalkan 2k=n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap.

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

Bilangan ganjil ditambah bilangan genap adalah bilangan ganjil.

Jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k-1)+(2k) yang hasilnya adalah 4k-1=2(2k)-1.

Misalkan. 2k=a, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2a-1. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan ganjil.

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap akan menghasilkan bilangan genap.

Perkalian dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil artinya perkalian antara (2k-1) \times (2k-1). Dimana hasilnya adalah 4k^2-4k+1. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(2k^2-2k)+1.

Misalnya 2k^2-2k=a. maka bentuk 2a+1 adalah rumus untuk bilangan ganjil.

Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Perkalian dua bilangan genap adalah bilangan genap

Perkalian antara bilangan genap dengan bilangan genap artinya perkalian antara (2k) \times (2k). Dimana hasilnya adalah 4k^2. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(2k^2).

Misalnya 2k^2=b. maka bentuk 2b adalah rumus untuk bilangan genap.

Sehingga hasil kali antara bilangan genap dengan bilangan genap adalah bilangan genap

Bilangan ganjil dikali bilangan genap adalah bilangan genap.

Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan genap artinya perkalian antara (2k-1) \times (2k). Dimana hasilnya adalah 4k^2-2k. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(2k^2-k).

Misalnya 2k^2-k=a. maka didapatkan bentuk 2a. dan bentuk 2a adalah rumus untuk bilangan genap.

Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan genap adalah bilangan genap

Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Kuadrat dari bilangan ganjil artinya perkalian antara (2k-1) \times (2k-1). Dimana hasilnya adalah 4k^2-4k+1.

Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(2k^2-2k)+1. Misalnya 2k^2-2k=a. maka bentuk 2a+1 adalah rumus untuk bilangan ganjil.

Sehingga kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap

Kuadrat dari bilangan genap artinya perkalian antara (2k) \times (2k). Dimana hasilnya adalah 4k^2. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(2k^2).

Misalnya 2k^2=b. maka bentuk 2b adalah rumus untuk bilangan genap.

Sehingga kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap.

Sumber=

http://simple.wikipedia.org/wiki/Even_number

http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/